Eigenvalue Calculator

정방행렬 A에 대해 고유값 λ와 그에 대응하는 고유벡터 v는 방정식 Av = λv를 만족합니다. 즉, 행렬 A를 벡터 v에 곱하면 v의 방향은 변하지 않고 크기만 λ배 변합니다. 고유값은 A가 표현하는 선형 변환의 특수한 방향(고유벡터)을 따른 스케일링 인수를 나타내며, 행렬의 근본적인 특성을 드러냅니다.

고유값은 특성 방정식 det(A − λI) = 0을 풀어 구합니다. 여기서 I는 단위행렬입니다. 대각 원소에서 λ를 뺀 후 행렬식을 0으로 놓으면 λ에 대한 다항식이 됩니다. 2×2 행렬의 경우 이차방정식 λ² − trace·λ + det = 0이 되고, 3×3 행렬의 경우 3차 다항식이 됩니다. 이 다항식의 근이 고유값입니다.

2×2 행렬에서 판별식은 trace² − 4·det입니다. 판별식이 양수이면 두 개의 서로 다른 실수 고유값이 있습니다. 판별식이 0이면 중복 실수 고유값이 하나 있습니다. 판별식이 음수이면 (trace/2) ± i·√(−판별식)/2 형태의 켤레 복소수 고유값이 존재합니다. 복소수 고유값은 회전형 변환에서 나타나며 미분방정식 시스템에서 진동적 거동을 나타냅니다.

대각합은 모든 대각 원소의 합으로, 모든 고유값의 합과 같습니다: trace(A) = λ₁ + λ₂ + ... + λₙ. 2×2 행렬에서는 trace = a₁₁ + a₂₂ = λ₁ + λ₂입니다. 이 관계는 고유값을 빠르게 검증하는 데 사용됩니다. 한 고유값을 알면 다른 하나를 대각합에서 빼서 구할 수 있습니다.

행렬식은 모든 고유값의 곱과 같습니다: det(A) = λ₁ × λ₂ × ... × λₙ. 2×2 행렬에서는 det = a₁₁·a₂₂ − a₁₂·a₂₁ = λ₁ × λ₂입니다. 행렬식이 0이면 적어도 하나의 고유값이 0이어서 행렬이 특이(비가역) 행렬임을 의미합니다. 대각합과 행렬식의 관계가 2×2 특성 다항식의 두 계수를 제공합니다.

3차 다항식에 대한 정확한 공식(카르다노 공식)이 있지만 수치적으로 불안정하며 모든 경우에 올바르게 구현하기 복잡합니다. 여기서 사용하는 이분법 수치 방법은 −100에서 +100 범위의 모든 실수 근을 6자리 정밀도로 안정적으로 구합니다. 이 범위는 학생과 엔지니어가 일반적으로 접하는 대부분의 행렬을 포괄합니다. 이 범위 밖의 근이 필요하다면 행렬에 상수를 곱하여 스케일링하세요.

PCA는 머신러닝과 통계학에서 사용하는 차원 축소 기법입니다. 데이터셋의 공분산 행렬의 고유값과 고유벡터를 계산합니다. 고유벡터(주성분)는 데이터 분산이 최대인 방향을 정의하고, 고유값은 각 방향을 따른 분산의 크기를 나타냅니다. 고유값을 내림차순으로 정렬하면 가장 중요한 성분을 선택하여 정보 손실을 최소화하면서 데이터 차원을 줄일 수 있습니다.

네. 대칭 행렬(A = Aᵀ)은 항상 실수 고유값과 직교 고유벡터를 가집니다(스펙트럼 정리). 2×2 대칭 행렬에서는 판별식이 항상 비음수이므로 계산기는 항상 실수 고유값을 반환합니다. 3×3 대칭 행렬에서는 수치 근 찾기가 세 개의 실수 고유값을 안정적으로 구합니다. 대칭 행렬은 물리학(관성 모멘트 텐서), 통계학(공분산 행렬), 구조 해석(강성 행렬)에서 자주 나타납니다.