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Integral Reference Table

적분 공식표 및 적분 기법 참조

35 공식
∫ xⁿ (n≠-1) dx
= xⁿ⁺¹/(n+1) + C
Basic
∫ 1/x dx
= ln|x| + C
Basic
∫ k (constant) dx
= kx + C
Basic
∫ √x dx
= (2/3)x³ˊ² + C
Basic
∫ 1/√x dx
= 2√x + C
Basic
∫ eˣ dx
= eˣ + C
Exponential
∫ aˣ dx
= aˣ/ln(a) + C
Exponential
∫ x eˣ dx
= (x-1)eˣ + C
Exponential
∫ ln(x) dx
= x ln(x) - x + C
Logarithmic
∫ log_a(x) dx
= x log_a(x) - x/ln(a) + C
Logarithmic
∫ 1/(x ln(a)) dx
= log_a|x| + C
Logarithmic
∫ sin(x) dx
= -cos(x) + C
Trigonometric
∫ cos(x) dx
= sin(x) + C
Trigonometric
∫ tan(x) dx
= -ln|cos(x)| + C
Trigonometric
∫ cot(x) dx
= ln|sin(x)| + C
Trigonometric
∫ sec(x) dx
= ln|sec(x)+tan(x)| + C
Trigonometric
∫ csc(x) dx
= -ln|csc(x)+cot(x)| + C
Trigonometric
∫ sec²(x) dx
= tan(x) + C
Trigonometric
∫ csc²(x) dx
= -cot(x) + C
Trigonometric
∫ sec(x)tan(x) dx
= sec(x) + C
Trigonometric
∫ csc(x)cot(x) dx
= -csc(x) + C
Trigonometric
∫ sin²(x) dx
= x/2 - sin(2x)/4 + C
Trigonometric
∫ cos²(x) dx
= x/2 + sin(2x)/4 + C
Trigonometric
∫ 1/√(1-x²) dx
= arcsin(x) + C
Inverse Trig
∫ -1/√(1-x²) dx
= arccos(x) + C
Inverse Trig
∫ 1/(1+x²) dx
= arctan(x) + C
Inverse Trig
∫ 1/(a²+x²) dx
= (1/a)arctan(x/a) + C
Inverse Trig
∫ 1/√(a²-x²) dx
= arcsin(x/a) + C
Inverse Trig
∫ sinh(x) dx
= cosh(x) + C
Hyperbolic
∫ cosh(x) dx
= sinh(x) + C
Hyperbolic
∫ tanh(x) dx
= ln(cosh(x)) + C
Hyperbolic
∫ sech²(x) dx
= tanh(x) + C
Hyperbolic
∫ sech(x)tanh(x) dx
= -sech(x) + C
Hyperbolic
∫ 1/√(x²+1) dx
= arcsinh(x) + C
Hyperbolic
∫ 1/√(x²-1) dx
= arccosh(x) + C
Hyperbolic

Integral Reference Table 소개

적분 공식표는 6개 카테고리에 걸쳐 37개 표준 적분 공식을 정리한 무료 검색 가능 미적분 참조표입니다: 기본(지수법칙, 상수, 제곱근), 지수함수(eˣ, aˣ, x·eˣ), 로그함수(ln x, log_a x), 삼각함수(sin, cos, tan, cot, sec, csc 및 제곱 형태), 역삼각함수(arcsin, arccos, arctan 형태), 쌍곡선함수(sinh, cosh, tanh, sech 및 역쌍곡선함수). 각 항목은 피적분함수 f(x), 적분 기호, 그리고 적분상수 C가 포함된 원시함수 결과를 표시합니다.

미적분 수강생, 공과대학 학부생, 물리학자, 교사들이 미분방정식 풀이, 면적·부피 계산, 시험 복습 시 원시함수를 빠르게 조회하는 데 이 표를 사용합니다. 카테고리 필터 버튼으로 한 번에 하나의 함수 유형에 집중할 수 있으며, 검색창은 함수 표기를 기준으로 매칭하므로 "sin"을 입력하면 모든 사인 계열 적분을, "ln"을 입력하면 로그 형태를 즉시 찾을 수 있습니다.

이 도구는 LaTeX 엔진이나 MathJax 없이 Unicode 수학 표기를 사용하여 모든 37개 공식을 브라우저에서 직접 렌더링합니다. 공식 항목은 위첨자(ⁿ, ²)와 아래첨자 문자를 사용하여 일반 텍스트에서 수학 조판을 근사합니다. 필터링은 React useMemo로 처리되므로 디바운스 지연 없이 즉시 결과가 업데이트됩니다.

주요 기능

  • 모든 핵심 미적분 카테고리를 아우르는 37개 표준 적분 공식 수록
  • 카테고리 필터 탭: 기본, 지수함수, 로그함수, 삼각함수, 역삼각함수, 쌍곡선함수
  • "cos", "arctan", "sinh" 등 함수 표기로 즉시 필터링되는 실시간 검색
  • 현재 필터에 해당하는 결과 수를 보여주는 공식 카운트 표시
  • 수학적 가독성을 위해 모노스페이스 폰트로 표시되는 피적분함수와 원시함수
  • 각 공식 항목에 인라인으로 렌더링되는 적분 기호(∫)와 dx 표기
  • 한눈에 시각적으로 분류 확인 가능한 각 공식 카드의 카테고리 배지
  • Unicode 수학 문자를 사용한 완전 클라이언트 사이드 — LaTeX 또는 MathJax 불필요

자주 묻는 질문

적분의 지수법칙이란 무엇인가요?

지수법칙은 n이 -1이 아닌 임의의 실수일 때 ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C를 말합니다. n = -1일 때는 ∫ 1/x dx = ln|x| + C입니다. 이것은 가장 기본적인 적분 공식으로 다항함수 적분의 기초가 됩니다.

eˣ와 지수함수를 어떻게 적분하나요?

eˣ의 적분은 eˣ + C입니다 — 지수함수는 자기 자신이 원시함수입니다. aˣ(a > 0, a ≠ 1)의 경우 적분은 aˣ/ln(a) + C입니다. x·eˣ의 적분은 부분적분이 필요하며 결과는 (x-1)eˣ + C입니다.

sin(x)와 cos(x)의 적분은 무엇인가요?

∫ sin(x) dx = -cos(x) + C이고 ∫ cos(x) dx = sin(x) + C입니다. 사인의 경우 부호 변화에 주의하세요. tan(x)의 적분은 -ln|cos(x)| + C이고, ∫ cot(x) dx = ln|sin(x)| + C입니다. sec²(x)와 csc²(x)의 결과는 각각 tan(x) + C와 -cot(x) + C입니다.

역삼각함수 적분이란 무엇인가요?

주요 역삼각함수 적분은: ∫ 1/√(1-x²) dx = arcsin(x) + C; ∫ -1/√(1-x²) dx = arccos(x) + C; ∫ 1/(1+x²) dx = arctan(x) + C; 그리고 일반화 형태 ∫ 1/(a²+x²) dx = (1/a)arctan(x/a) + C입니다. 이러한 적분은 원과 삼각 치환이 포함된 문제에서 자주 등장합니다.

쌍곡선 적분과 삼각 적분의 차이는 무엇인가요?

쌍곡선함수(sinh, cosh, tanh)의 적분은 구조적으로 삼각함수와 비슷하지만 부호 교대가 없습니다: ∫ sinh(x) dx = cosh(x) + C이고 ∫ cosh(x) dx = sinh(x) + C(모두 양수). 반면 ∫ sin(x) dx = -cos(x) + C(음수)입니다. 역쌍곡선 적분 ∫ 1/√(x²+1) dx = arcsinh(x) + C는 역삼각 형태와 유사합니다.

ln(x)는 어떻게 적분하나요?

ln(x)의 적분은 x·ln(x) - x + C입니다. u = ln(x), dv = dx로 놓는 부분적분으로 유도됩니다. 마찬가지로 ∫ log_a(x) dx = x·log_a(x) - x/ln(a) + C이며, a = e일 때 자연로그 형태로 환원됩니다.

sin²(x)와 cos²(x)는 어떻게 적분하나요?

반각 공식을 사용합니다: ∫ sin²(x) dx = x/2 - sin(2x)/4 + C이고 ∫ cos²(x) dx = x/2 + sin(2x)/4 + C입니다. 이것들은 sin²(x) = (1 - cos(2x))/2와 cos²(x) = (1 + cos(2x))/2 항등식을 이용하여 제곱 함수를 적분 가능한 형태로 변환하여 유도합니다.

적분상수 C는 무엇을 의미하나요?

모든 부정적분에 있는 상수 C는 원시함수가 유일하지 않다는 사실을 나타냅니다 — 원시함수에 임의의 상수를 더해도 미분하면 원래 함수와 같습니다. 구간 [a, b]에서 정적분을 계산할 때는 상수가 상쇄됩니다. 초기값 문제에서는 주어진 조건을 이용하여 C를 구합니다.