liminfoLaplace Transform Table
라플라스/역라플라스 변환 쌍 및 성질 참조
| f(t) | \u2194 | F(s) |
|---|---|---|
| 1 (unit step) | \u2194 | 1/s |
| t | \u2194 | 1/s² |
| tⁿ | \u2194 | n!/sⁿ⁺¹ |
| e⁻ᵃᵗ | \u2194 | 1/(s+a) |
| t e⁻ᵃᵗ | \u2194 | 1/(s+a)² |
| tⁿ e⁻ᵃᵗ | \u2194 | n!/(s+a)ⁿ⁺¹ |
| sin(ωt) | \u2194 | ω/(s²+ω²) |
| cos(ωt) | \u2194 | s/(s²+ω²) |
| e⁻ᵃᵗ sin(ωt) | \u2194 | ω/((s+a)²+ω²) |
| e⁻ᵃᵗ cos(ωt) | \u2194 | (s+a)/((s+a)²+ω²) |
| t sin(ωt) | \u2194 | 2ωs/(s²+ω²)² |
| t cos(ωt) | \u2194 | (s²-ω²)/(s²+ω²)² |
| sinh(ωt) | \u2194 | ω/(s²-ω²) |
| cosh(ωt) | \u2194 | s/(s²-ω²) |
| δ(t) (impulse) | \u2194 | 1 |
| δ(t-a) | \u2194 | e⁻ᵃˢ |
| u(t-a) (step) | \u2194 | e⁻ᵃˢ/s |
| t½ | \u2194 | √π / (2s³ˀ²) |
| 1/√(πt) | \u2194 | 1/√s |
| erfc(a/2√t) | \u2194 | e⁻ᵃ√ˢ / s |
Laplace Transform Table 소개
라플라스 변환표는 20개의 표준 라플라스 변환 쌍을 4개 카테고리로 정리한 무료 검색 가능 공학 참조 도구입니다: 기본(단위 계단함수, t, tⁿ, e⁻ᵃᵗ, t·e⁻ᵃᵗ, tⁿ·e⁻ᵃᵗ), 삼각함수(sin ωt, cos ωt, 감쇠 사인·코사인, t·sin ωt, t·cos ωt), 쌍곡선함수(sinh ωt, cosh ωt), 특수함수(디랙 델타 δ(t), 시간이동 델타 δ(t-a), 단위 계단 u(t-a), t^½, 1/√(πt), erfc). 또한 시스템 해석에 사용되는 가장 중요한 11개 라플라스 변환 정리를 다루는 성질 표도 포함되어 있습니다.
전기공학자, 기계공학자, 제어시스템 설계자, 신호처리 학생, 응용수학자들이 상미분방정식 풀이, 회로 해석, 기계 진동 문제, 제어시스템 전달함수 작업 시 이 표를 활용합니다. 두 탭 인터페이스는 카테고리 필터와 검색이 포함된 변환 쌍 조회와, 선형성·시간이동·주파수이동·시간스케일링·시간미분·시간적분·컨볼루션·t 곱셈·t 나눗셈·초기값 정리·최종값 정리를 다루는 성질 표를 분리하여 제공합니다.
모든 데이터는 브라우저 클라이언트에 직접 내장되어 있어 서버 요청이 없습니다. 카테고리 필터는 지연 없이 즉각적인 필터링을 위해 useMemo가 적용된 React 상태를 사용합니다. 변환 쌍은 시간 영역 함수 f(t)와 라플라스 영역 등가 F(s)를 모노스페이스 폰트로 표시하여 양방향 대응 관계를 명확하게 보여줍니다.
주요 기능
- 기본, 삼각함수, 쌍곡선함수, 특수함수 카테고리를 아우르는 20개 라플라스 변환 쌍
- 11개 라플라스 변환 성질: 선형성, 시간/주파수 이동, 스케일링, 미분, 적분, 컨볼루션
- 성질 표에 포함된 초기값 정리 및 최종값 정리
- 한 번에 한 카테고리 변환에 집중할 수 있는 카테고리 필터 버튼
- f(t) 및 F(s) 표기를 기반으로 실시간 검색 — 수식으로 변환 쌍 찾기
- 변환 쌍과 성질을 명확하게 구분하는 2탭 레이아웃
- Unicode 수학 문자(ω, δ, ∫, ↔)를 사용한 f(t)와 F(s) 모노스페이스 폰트 표시
- 완전 클라이언트 사이드 — 서버 호출 없음, 페이지 로딩 후 오프라인 사용 가능
자주 묻는 질문
라플라스 변환이란 무엇이며 공학에서 왜 사용하나요?
라플라스 변환은 시간 영역 함수 f(t)를 복소 주파수 영역 함수 F(s) = ∫₀^∞ f(t)e^(-st) dt로 변환합니다. 이 변환은 미분방정식을 대수 방정식으로 변환하여 풀기 쉽게 만듭니다. 엔지니어들은 회로 해석(인덕터와 커패시터를 임피던스로 대체), 제어시스템 설계(전달함수 작업), 기계 진동 해석에 활용합니다.
e^(-at)의 라플라스 변환은 무엇인가요?
e^(-at)의 라플라스 변환은 L{e^(-at)} = 1/(s+a)이며, Re(s) > -a에서 유효합니다. 많은 물리 시스템이 지수 감쇠 응답을 보이므로 가장 기본적인 변환 쌍 중 하나입니다. 이동 변형인 L{t·e^(-at)} = 1/(s+a)²과 L{tⁿ·e^(-at)} = n!/(s+a)^(n+1)은 과감쇠 시스템 응답을 설명합니다.
sin(ωt)와 cos(ωt)의 라플라스 변환은 무엇인가요?
L{sin(ωt)} = ω/(s²+ω²)이고 L{cos(ωt)} = s/(s²+ω²)입니다. 감쇠 진동의 경우: L{e^(-at)sin(ωt)} = ω/((s+a)²+ω²)이고 L{e^(-at)cos(ωt)} = (s+a)/((s+a)²+ω²)입니다. 이것들은 고유 진동수 ω를 가진 부족감쇠 2차 시스템에서 나타납니다.
디랙 델타함수의 라플라스 변환은 무엇인가요?
디랙 델타(임펄스) δ(t)의 라플라스 변환은 L{δ(t)} = 1입니다. 시간이동 임펄스의 경우 L{δ(t-a)} = e^(-as)입니다. 델타함수는 제어시스템과 신호처리에서 순간적인 입력(망치 충격 등)을 모델링하는 데 사용됩니다. 변환이 1이라는 것은 모든 주파수를 동등하게 포함한다는 의미입니다.
시간미분 성질이란 무엇인가요?
시간미분 성질은 L{f'(t)} = sF(s) - f(0⁺)임을 말합니다. 이는 시간 영역에서의 미분이 라플라스 영역에서 s 곱셈에 해당하며, 초기 조건 f(0⁺)을 뺀 것과 같습니다. 2차 미분의 경우: L{f''(t)} = s²F(s) - sf(0⁺) - f'(0⁺)입니다. 이 성질이 라플라스 변환이 미분방정식을 대수 방정식으로 변환하는 이유입니다.
초기값 정리와 최종값 정리란 무엇인가요?
초기값 정리는 f(0⁺) = lim(s→∞) s·F(s)로, 변환을 역변환하지 않고 시스템의 초기 거동을 구할 수 있게 합니다. 최종값 정리는 f(∞) = lim(s→0) s·F(s)로, 안정적인 시스템의 정상 상태값을 제공합니다. 최종값 정리는 s·F(s)의 모든 극점이 음의 실수부를 가질 때(시스템이 안정적일 때)만 적용됩니다.
라플라스 변환의 컨볼루션 성질이란 무엇인가요?
컨볼루션 성질은 시간 영역의 컨볼루션 f*g(t) = ∫₀ᵗ f(τ)g(t-τ)dτ가 L{f*g} = F(s)·G(s)(주파수 영역의 곱셈)에 해당함을 말합니다. 선형 시스템의 출력을 나타내는 컨볼루션이 라플라스 영역에서 단순 곱셈이 되므로 제어시스템과 신호처리에서 매우 유용합니다.
라플라스 변환은 제어시스템 해석에 어떻게 활용되나요?
제어시스템에서 라플라스 변환은 주파수 영역에서 출력 Y(s)와 입력 U(s)의 비를 나타내는 전달함수 H(s) = Y(s)/U(s)를 유도하는 데 사용됩니다. 엔지니어들은 극점 위치를 통한 안정성 분석, 피드백 제어기(PID) 설계, 이 표의 변환 쌍과 성질을 사용한 계단 응답이나 임펄스 응답 계산에 활용합니다. 역라플라스 변환(부분분수 분해)으로 F(s)를 f(t)로 되돌립니다.