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Polynomial Calculator

다항식 사칙연산/인수분해/근 찾기 계산기

최고차항부터 낮은 차수 순으로 계수를 쉼표로 구분하여 입력하세요. 예: "1, 0, -4" = x^2 - 4

P(x) = x^2 -4
근: 2.0000, -2.0000
Q(x) = x + 2
근: -2.0000

P(x) + Q(x) =

x^2 + x -2

계수: [1, 1, -2]

Polynomial Calculator 소개

다항식 계산기는 두 다항식에 대한 산술 연산(덧셈, 뺄셈, 곱셈)을 수행합니다. 각 다항식은 최고 차수부터 상수항까지 쉼표로 구분된 계수 목록으로 입력합니다(예: "1, 0, -4"는 x² − 4를 나타냄). 도구는 입력을 즉시 파싱하여 사람이 읽기 쉬운 기호 형태(예: "x^2 - 4")로 표시하고 선택한 연산의 결과를 계산합니다.

산술 연산 외에도 계산기는 두 입력 다항식의 실수 근을 자동으로 탐색합니다. 1차 다항식은 직접 나눗셈, 2차 다항식은 판별식이 0 이상일 때 근의 공식을 사용합니다. 고차 다항식은 [-100, 100] 구간을 0.1 간격으로 스캔하여 부호 변화를 감지하고, 이분법 50회 반복으로 각 근을 소수 6자리까지 수렴시키는 수치적 방법을 사용합니다.

이 도구는 다항식 산술 검증, 인수 분해 확인, 근 탐색이 필요한 수학 학생, 엔지니어, 과학자에게 유용합니다. 특성 다항식을 다루는 제어 시스템 엔지니어, 전달 함수의 분자·분모를 처리하는 신호 처리 엔지니어, 다항식 연산을 연습하는 대수학 학생에게 특히 편리합니다.

주요 기능

  • 다항식 덧셈: P(x) + Q(x)의 기호 결과 즉시 표시
  • 다항식 뺄셈: 계수 단위의 정확도로 P(x) − Q(x) 계산
  • 계수 배열 합성곱을 이용한 다항식 곱셈: P(x) × Q(x)
  • 근의 공식과 이분법으로 P(x)와 Q(x)의 실수 근 자동 탐색
  • 최고 차수부터 낮은 차수 순으로 쉼표 구분 계수 입력
  • 시각적 검증이 쉬운 기호 다항식 표시(예: x^2 - 4)
  • 추가 계산에 활용 가능한 원시 계수 배열 출력
  • 100% 브라우저 기반 — 서버 불필요, 오프라인 사용 가능, 모든 차수 지원

자주 묻는 질문

다항식을 어떻게 입력하나요?

최고 차수 항부터 상수항까지 계수를 쉼표로 구분하여 입력합니다. 예를 들어 x³ − 2x + 5는 "1, 0, -2, 5"로 입력합니다(x³의 계수 1, x²의 계수 0, x의 계수 -2, 상수 5). 중간에 빠진 항도 반드시 0을 명시적으로 포함해야 각 항의 차수가 올바르게 인식됩니다.

근 탐색은 어떻게 작동하나요?

1차 다항식(ax + b)은 x = -b/a로 직접 계산합니다. 2차(ax² + bx + c)는 근의 공식 x = (-b ± √(b²-4ac)) / (2a)를 사용하며, b²-4ac ≥ 0인 경우에만 실수 근을 반환합니다. 고차 다항식은 -100부터 +100까지 0.1 간격으로 스캔하여 부호 변화를 감지하고, 이분법 50회로 소수 6자리까지 수렴합니다.

근 탐색기가 근을 놓치는 경우가 있는 이유는 무엇인가요?

수치 이분법은 -100~+100 범위를 스캔합니다. 이 범위 밖의 근은 탐색되지 않습니다. 두 근이 매우 가깝다면(0.1 이내) 알고리즘이 하나를 놓치거나 합칠 수 있습니다. 또한 이분법은 실수 근만 탐색하므로 복소수 근은 감지되지 않습니다. 복소수 근을 포함한 완전한 근 탐색에는 Wolfram Alpha나 MATLAB 같은 CAS 도구를 권장합니다.

다항식 곱셈이란 무엇이며 언제 유용한가요?

다항식 곱셈(계수 배열의 합성곱)은 두 다항식을 항별로 곱한 후 동류항을 모읍니다. 인수 분해 형태를 전개할 때(예: (x-2)(x+3) = x²+x-6), 제어 이론에서 전달 함수 곱을 계산할 때, 블록 선도의 특성 다항식을 구할 때, 신호 처리에서 z-변환이나 라플라스 변환을 다룰 때 활용됩니다.

고차 다항식도 처리할 수 있나요?

차수에 제한은 없습니다. 다만 수치적 근 탐색기는 [-100, 100] 구간을 0.1 간격으로 스캔하므로 이 범위 내의 근에 가장 신뢰성이 높습니다. 곱셈으로 생성된 매우 고차(차수 > 10) 다항식은 계수값이 매우 커질 수 있으며, 부동소수점 정밀도 한계로 정확도가 저하될 수 있습니다. 고차 결과는 독립적으로 검증하세요.

결과가 기호 형태로 어떻게 표시되나요?

계산기는 계수 배열로부터 사람이 읽기 쉬운 문자열을 생성합니다. 상수항이 아닌 항의 계수 ±1은 "1"을 생략합니다(예: "x", "−x"). 계수가 0인 항은 건너뜁니다. 첫 번째 항 이후의 양수 계수는 "+"를 앞에 붙입니다(예: "+ 3x"). 지수는 차수 1 초과의 경우 "x^n"으로 표기합니다.

다항식의 차수와 계수 개수의 차이는 무엇인가요?

다항식의 차수는 계수가 0이 아닌 가장 높은 x의 거듭제곱입니다. 차수 n의 다항식은 n+1개의 계수를 갖습니다(x^n부터 x^0까지). 예를 들어 x³ + 2x − 1은 차수 3이고 계수는 [1, 0, 2, -1] 4개입니다. 계수를 입력할 때 중간에 빠진 모든 항에 0을 포함해야 차수 매핑이 올바르게 됩니다.

다항식 나눗셈에도 사용할 수 있나요?

이 계산기는 현재 덧셈, 뺄셈, 곱셈만 지원합니다. 다항식 나눗셈(긴 나눗셈 또는 합성 나눗셈)은 지원하지 않습니다. P(x) ÷ Q(x)를 계산하려면 이 도구로 Q(x)의 근을 먼저 찾고 수동으로 인수 분해한 후 합성 나눗셈을 수행하거나, 다항식 나눗셈을 직접 지원하는 완전한 CAS 도구를 활용하세요.