liminfoZ-Transform Reference
Z-변환 쌍/성질/ROC 참조 테이블
| x[n] | X(z) | 수렴 영역 |
|---|---|---|
| δ[n] | 1 | All z |
| u[n] | z/(z-1) | |z| > 1 |
| n u[n] | z/(z-1)² | |z| > 1 |
| n² u[n] | z(z+1)/(z-1)³ | |z| > 1 |
| aⁿ u[n] | z/(z-a) | |z| > |a| |
| n aⁿ u[n] | az/(z-a)² | |z| > |a| |
| -aⁿ u[-n-1] | z/(z-a) | |z| < |a| |
| cos(ω₀n) u[n] | z(z-cosω₀)/(z²-2z cosω₀+1) | |z| > 1 |
| sin(ω₀n) u[n] | z sinω₀/(z²-2z cosω₀+1) | |z| > 1 |
| rⁿ cos(ω₀n) u[n] | z(z-r cosω₀)/(z²-2rz cosω₀+r²) | |z| > r |
| rⁿ sin(ω₀n) u[n] | rz sinω₀/(z²-2rz cosω₀+r²) | |z| > r |
| δ[n-k] | z⁻ᵏ | z ≠ 0 (k>0) |
| aⁿ⁻ᵏ u[n-k] | a⁻ᵏ z/(z-a) | |z| > |a| |
Z-Transform Reference 소개
Z-변환 레퍼런스는 디지털 신호 처리(DSP)와 이산 시간 시스템 분석에서 가장 많이 사용되는 Z-변환 쌍과 특성을 한눈에 조회할 수 있는 무료 도구입니다. 도구는 두 탭으로 구성됩니다. 변환 쌍 탭에는 13개의 대표적인 시간 영역 신호와 해당 z 영역 닫힌 형식 표현식, 수렴 영역(ROC)이 수록되어 있고, 특성 탭에는 선형성, 시간 이동, 시간 반전, 스케일링, 컨볼루션, 미분, 누적, 초기값 정리를 포함한 8가지 핵심 정리가 정리되어 있습니다.
DSP 엔지니어, 제어 시스템 설계자, 전기공학과 학생, 차분 방정식이나 디지털 필터 설계를 공부하는 모든 분께 이 레퍼런스가 큰 도움이 됩니다. 교재 색인을 뒤지는 대신, 검색창에 "cos"나 "aⁿ"를 입력하면 해당 X(z) 표현식과 ROC 조건을 즉시 확인할 수 있습니다.
변환 쌍은 기본(단위 임펄스, 단위 계단, 경사 신호, n², aⁿ 등), 삼각함수(코사인, 사인, 감쇠 정현파), 이동(지연 임펄스, 지연 지수 신호) 세 가지 카테고리로 분류됩니다. 검색은 시간 영역 표기 x[n]과 z 영역 표현식 X(z) 모두를 대상으로 합니다. 모든 데이터는 컴포넌트에 내장되어 있어 네트워크 요청 없이 React useMemo로 실시간 필터링이 이루어집니다.
주요 기능
- 기본·삼각함수·이동 카테고리에 걸친 13개 Z-변환 쌍 수록
- 모든 변환 쌍에 수렴 영역(ROC) 명시
- 선형성·시간이동·시간반전·스케일링·컨볼루션·미분·누적·초기값 정리를 포함한 8가지 특성 표
- x[n] 또는 X(z) 표현식으로 키워드 검색 가능
- 기본·삼각함수·이동 카테고리 필터 버튼 제공
- 한국어·영어 이중 언어 인터페이스 지원
- 100% 클라이언트 사이드 처리 — 데이터 내장, 네트워크 요청 불필요
- 수식을 명확하게 표시하는 모노스페이스 폰트 기반 깔끔한 표 레이아웃
자주 묻는 질문
Z-변환이란 무엇인가요?
Z-변환은 이산 시간 신호 x[n]을 복소 주파수 영역 표현 X(z)로 변환합니다. 연속 시간의 라플라스 변환에 대응하는 이산 시간 도구로, 디지털 필터, 제어 시스템, 차분 방정식 분석의 핵심 수단입니다.
수렴 영역(ROC)이란 무엇인가요?
ROC는 Z-변환의 급수가 수렴(유한한 값을 가짐)하는 복소수 z의 집합입니다. 인과 지수 신호 aⁿu[n]의 경우 ROC는 |z| > |a|입니다. ROC는 시스템의 인과성, 안정성, 역인과성을 결정하므로 Z-변환의 완전한 명세에 필수적입니다.
특정 변환 쌍을 어떻게 검색하나요?
변환 쌍 탭 상단의 검색창에 시간 영역 표현식이나 z 영역 공식의 일부를 입력하면 됩니다. 예를 들어 "cos"를 입력하면 코사인과 감쇠 코사인 항목만 필터링됩니다. 카테고리 버튼을 사용해 기본, 삼각함수, 이동 쌍으로 범위를 좁힐 수도 있습니다.
특성 탭에는 어떤 내용이 있나요?
특성 탭에는 8가지 핵심 Z-변환 정리가 특성 이름, 시간 영역 형식, z 영역 대응 형식의 세 열로 표시됩니다. 선형성(aX₁+bX₂), 시간 이동(z⁻ᵏX(z)), 컨볼루션(X₁(z)·X₂(z)) 등 차분 방정식 풀이에 필수적인 정리들이 포함됩니다.
Z-변환과 라플라스 변환의 차이는 무엇인가요?
라플라스 변환은 연속 시간 신호를 다루고, Z-변환은 이산 시간 신호를 다룹니다. 두 변환의 관계는 z = e^{sT}(T는 샘플링 주기)로 표현됩니다. s 평면의 허수축 극점은 z 평면의 단위원 위의 극점에 대응합니다.
단위 임펄스 δ[n]의 Z-변환은 무엇인가요?
단위 임펄스 δ[n]의 Z-변환은 X(z) = 1이며, ROC는 모든 z입니다. 급수에서 n=0일 때만 비영 항이 존재하고, 그 값은 z에 관계없이 항상 1이기 때문입니다.
역 Z-변환은 어떻게 구하나요?
역 Z-변환은 부분 분수 전개(유리 함수 X(z)의 경우), 멱급수 전개, 또는 윤곽 적분 공식으로 계산합니다. 이 레퍼런스는 정방향 변환 쌍과 특성에 집중하며, 역 Z-변환 계산 시에는 ROC를 참고해 인과 또는 역인과 형태를 선택하면 됩니다.
시험 준비에 활용할 수 있나요?
네. 수록된 쌍과 특성은 대부분의 DSP 및 신호·시스템 교재와 대학 시험 치트 시트에서 다루는 표준 항목들입니다. 검색 및 필터 기능을 통해 특정 항목을 빠르게 찾아 복습할 수 있습니다.